Амплитудная характеристика нелинейного звена

где z₀ – постоянная составляющая сигнала, A_k, B_k – коэффициенты ряда Фурье, k – номер гармоники сигнала.

Поскольку при дальнейшем преобразовании сигнала линейной частью системы высокочастотные составляющие сигнала на поведение системы практически не влияют, то учитывать следует только низкочастотные составляющие сигнала. В пределе ограничиваются учетом только первой гармоники сигнала

Поскольку при исследовании динамики систем автоматического управления рассматривают отклонения сигналов от установившихся значений, то последнее выражение можно записать в отклонениях

Таким образом, получено аналитическое описание выходного сигнала нелинейного звена при воздействии на его вход гармонического сигнала. Следует помнить, что это приближенное описание, поскольку учтена только первая гармоника преобразованного сигнала. С использованием выражения для преобразованного сигнала нелинейное звено описывается комплексным коэффициентом преобразования

Комплексный коэффициент преобразования зависит от амплитуды A входного сигнала и является в общем случае комплексной величиной. Однако, если нелинейность преобразования однозначна, то коэффициент является вещественным и часто обозначается как K_н(A). Коэффициент K_н(jA) в литературе по теории управления называют также амплитудная характеристика нелинейного звена.

Для определения амплитудной характеристики нелинейного звена использовалось представление преобразованного нелинейным звеном сигнала в виде спектра гармоник. Поэтому частотный метод описания нелинейных систем называют также методом гармонической линеаризации.

Нелинейность характеристики нелинейного звена, описываемого с помощью амплитудной характеристики, может иметь некоторый параметр σ (например, ширина зоны нечувствительности, амплитуда ограничения выходного сигнала и др.). В этом случае амплитудную характеристику нелинейного звена удобно представлять в нормированном виде по отношению к параметру нелинейности

где A/σ – относительная амплитуда входного сигнала, N – коэффициент нормирования, Kнн(A/σ) – нормированная амплитудная характеристика нелинейного звена.

Поскольку в общем случае амплитудная характеристика нелинейного звена величина комплексная встречается и при монтаже радиатора, то для нее можно определить модуль и аргумент

Пример. Рассмотрим определение амплитудной характеристики нелинейного звена с нелинейностью релейная характеристика. Преобразование гармонического сигнала этой нелинейностью иллюстрируется на рис. 76. Входной сигнал x(t) является гармоническим сигналом с амплитудой A и периодом колебаний

Релейная характеристика имеет параметр B, определяющий величину  выходного сигнала. Результат преобразования представляет собой меандр (колебания с прямоугольной формой сигнала) с амплитудой B и периодом T. Поскольку описываемая нелинейность однозначна, то амплитудная характеристика нелинейного звена будет чисто вещественной величиной, и для ее определения нужно вычислить только первый коэффициент A₁ ряда Фурье

Таким образом, амплитудная характеристика нелинейного звена с нелинейностью типа релейная характеристика

где  A – амплитуда входного гармонического сигнала, B – параметр релейной характеристики (величина выходного сигнала релейной характеристики).