Монтаж, Наладка и Эксплуатация автоматических устройств в деревообрабатывающей промышленности, ремонт дома, квартиры, дачи и офиса, мебель и многое другое!
Чертежи
Elektroprovodki.jpg
Elektroprovodki
Наши партнеры
Популярные статьи
Комментарии
Облако тегов

Автоматические устройства

Понедельник, 01 Октябрь 2012 08:46

Частотный критерий устойчивости

Автор 
Оцените материал
(0 голосов)

 

Частотный критерий устойчивости


 

Если рассматривать дискретную передаточную функцию замкнутой импульсной системы, то знаменатель этой передаточной функции будет определять устойчивость системы. Знаменатель имеет вид

 

ф133

 

Числитель полученного выражения является характеристическим полиномом замкнутой импульсной системы, а знаменатель ?характеристическим полиномом разомкнутой импульсной системы.


Для дискретной передаточной функции W*(p) разомкнутой импульсной системы основные полюсы совпадают с полюсами приведенной непрерывной части и, следовательно, разомкнутая импульсная система будет устойчива, если устойчива ее непрерывная часть.


Замкнутая импульсная система устойчива, если все нули T*(p) будут левыми (т.е. будут иметь отрицательную вещественную часть). Для исследования устойчивости выполним замену epT=v


ф134

 

Представим полиномы G*1(v) и C*1(v) в биноминальной форме

 

ф135

 

где vk - корни полинома G*1(v). Тогда

 

ф136

 

где v - нули знаменателя T*1(v), vkп - полюса этого знаменателя, n – порядок системы.


Для устойчивости замкнутой импульсной системы необходимо выполнение условия |Vkh|<1, т.е. все нули знаменателя должны быть внутренними по отношению к единичному кругу |v|=1.


Диаграмма нулей полюсов


На рис. 42 изображена комплексная плоскость переменной v. Вектор vk, проведенный из начала координат, соответствует определенному нулю или полюсу выражения T*1(v). Вектор изображает аргумент, который изменяется таким образом, чтобы конец вектора перемещался по окружности единичного радиуса. Вектор v-vk соответствует одному сомножителю в числителе или знаменателе выражения T*1(v).


При изменении v вдоль единичной окружности по часовой стрелке каждый сомножитель изменяет аргумент на ?2? (совершает оборот относительно начала координат), если конец вектора v’k лежит внутри единичной окружности и не меняет аргумента, если v’’k  лежит вне единичной окружности. Эта особенность наблюдается как для нулей, так и для полюсов выражения T*1(v).


Следовательно, при изменении v вдоль контура единичной окружности |v|=1 по часовой стрелке изменение аргумента T*1(v) будет равно углу 2п, умноженному на разность между числом полюсов nn и нулей nн  T*1(v), лежащих внутри единичной окружности

 

ф137

 

Для устойчивой разомкнутой системы все nполюсов n левые. Замкнутая импульсная система будет устойчива, если все n нулей nн также будут левыми, тогда приращение аргумента комплексного выражения T*1(v)

 

ф138

 

Если изобразить на комплексной плоскости T*1 кривую T*1(v) при |v|=1, то для устойчивой системы эта кривая не охватывает начало координат, поскольку только в этом случае при обходе точек кривой вектор, проведенный из начала координат в текущую точку кривой, не обернется вокруг начала координат (рис. 43).


Годограф


Переменная v является комплексной и может принимать любые значения, поэтому вместо T*1(v) можно рассматривать характеристику


T*(jw)=1+W*(jw),

для которой рассмотренные выше рассуждения останутся справедливыми.


Характеристика T*(jw) сдвинута на единичную величину относительно частотной характеристики разомкнутой импульсной системы W*(jw). Следовательно, для устойчивой замкнутой импульсной системы с устойчивой непрерывной частью частотная характеристика разомкнутой импульсной системы не должна охватывать точку комплексной плоскости с координатами (-1, j0).


Частотную характеристику разомкнутой импульсной системы можно представить в нормированном виде

 

ф139

 

где K - коэффициент усиления разомкнутой импульсной системы, W(jw) - нормированная частотная характеристика разомкнутой системы.


Принимая во внимание нормированную частотную характеристику разомкнутой импульсной системы, частотный критерий устойчивости замкнутой импульсной системы формулируется следующим образом.


Импульсная система с устойчивой непрерывной частью будет устойчива, если нормированная частотная характеристика разомкнутой импульсной системы не охватывает точку при изменении частоты в пределах. 


Частотный критерий устойчивостиПостроение годографа нормированной частотной характеристики разомкнутой импульсной системы показано на рис. 44. В рассматриваемом случае непрерывная часть системы устойчива и годограф охватывает контрольную точку  , следовательно, данная система неустойчива в замкнутом состоянии.


Если непрерывная часть замкнутой импульсной системы неустойчива и ее характеристический полином имеет s корней, расположенных в правой полуплоскости комплексной плоскости корней, то условие устойчивости замкнутой системы изменяется, и частотный критерий устойчивости приобретает новую формулировку.


Импульсная система с неустойчивой непрерывной частью, характеристический полином которой имеет s правых корней, будет устойчива, если нормированная частотная характеристика разомкнутой импульсной системы охватывает точку s раз при изменении частоты в пределах.


 

Прочитано 1562 раз Последнее изменение Среда, 21 Октябрь 2015 00:06

Оставить комментарий

Убедитесь, что вы вводите (*) необходимую информацию, где нужно
HTML-коды запрещены