Частотный критерий устойчивости

Для дискретной передаточной функции W*(p) разомкнутой импульсной системы основные полюсы совпадают с полюсами приведенной непрерывной части и, следовательно, разомкнутая импульсная система будет устойчива, если устойчива ее непрерывная часть.

Замкнутая импульсная система устойчива, если все нули T*(p) будут левыми (т.е. будут иметь отрицательную вещественную часть). Для исследования устойчивости выполним замену e^pT=v

Представим полиномы G*1(v) и C*1(v) в биноминальной форме

где v_k - корни полинома G*1(v). Тогда

где v_kн - нули знаменателя T*1(v), v_kп - полюса этого знаменателя, n – порядок системы.

Для устойчивости замкнутой импульсной системы необходимо выполнение условия |V_kh|<1, т.е. все нули знаменателя должны быть внутренними по отношению к единичному кругу |v|=1.

На рис. 42 изображена комплексная плоскость переменной v. Вектор vk, проведенный из начала координат, соответствует определенному нулю или полюсу выражения T*1(v). Вектор изображает аргумент, который изменяется таким образом, чтобы конец вектора перемещался по окружности единичного радиуса. Вектор v-vk соответствует одному сомножителю в числителе или знаменателе выражения T*1(v).

При изменении v вдоль единичной окружности по часовой стрелке каждый сомножитель изменяет аргумент на ?2? (совершает оборот относительно начала координат), если конец вектора v’k лежит внутри единичной окружности и не меняет аргумента, если v’’k  лежит вне единичной окружности. Эта особенность наблюдается как для нулей, так и для полюсов выражения T*1(v).

Следовательно, при изменении v вдоль контура единичной окружности |v|=1 по часовой стрелке изменение аргумента T*1(v) будет равно углу 2п, умноженному на разность между числом полюсов n_n и нулей n_н  T*1(v), лежащих внутри единичной окружности

Для устойчивой разомкнутой системы все nполюсов n левые. Замкнутая импульсная система будет устойчива, если все n нулей n_н также будут левыми, тогда приращение аргумента комплексного выражения T*1(v)

Если изобразить на комплексной плоскости T*1 кривую T*1(v) при |v|=1, то для устойчивой системы эта кривая не охватывает начало координат, поскольку только в этом случае при обходе точек кривой вектор, проведенный из начала координат в текущую точку кривой, не обернется вокруг начала координат (рис. 43).

Переменная v является комплексной и может принимать любые значения, поэтому вместо T*1(v) можно рассматривать характеристику

T*(jw)=1+W*(jw),

для которой рассмотренные выше рассуждения останутся справедливыми.

Характеристика T*(jw) сдвинута на единичную величину относительно частотной характеристики разомкнутой импульсной системы W*(jw). Следовательно, для устойчивой замкнутой импульсной системы с устойчивой непрерывной частью частотная характеристика разомкнутой импульсной системы не должна охватывать точку комплексной плоскости с координатами (-1, j0).

Частотную характеристику разомкнутой импульсной системы можно представить в нормированном виде

где K - коэффициент усиления разомкнутой импульсной системы, W(jw) - нормированная частотная характеристика разомкнутой системы.

Принимая во внимание нормированную частотную характеристику разомкнутой импульсной системы, частотный критерий устойчивости замкнутой импульсной системы формулируется следующим образом.

Импульсная система с устойчивой непрерывной частью будет устойчива, если нормированная частотная характеристика разомкнутой импульсной системы не охватывает точку при изменении частоты в пределах. 

Построение годографа нормированной частотной характеристики разомкнутой импульсной системы показано на рис. 44. В рассматриваемом случае непрерывная часть системы устойчива и годограф охватывает контрольную точку  , следовательно, данная система неустойчива в замкнутом состоянии.

Если непрерывная часть замкнутой импульсной системы неустойчива и ее характеристический полином имеет s корней, расположенных в правой полуплоскости комплексной плоскости корней, то условие устойчивости замкнутой системы изменяется, и частотный критерий устойчивости приобретает новую формулировку.

Импульсная система с неустойчивой непрерывной частью, характеристический полином которой имеет s правых корней, будет устойчива, если нормированная частотная характеристика разомкнутой импульсной системы охватывает точку s раз при изменении частоты в пределах.