Построение фазовых траекторий

На фазовой плоскости OXY фазовые траектории описываются уравнениями вида

Решение уравнения y(x) + C, содержащее постоянную интегрирования C, описывает фазовую траекторию. Если это описание получено, то строя графики при разных C, можно построить фазовый портрет системы. Основная сложность описанного подхода заключается в необходимости решения нелинейного дифференциального уравнения фазовой траектории, что представляет определенные трудности.

Пример исследования  нелинейной системы

Рассмотрим в качестве примера релейную систему терморегулирования с инерционным объектом управления и астатическим исполнительным механизмом. Структурная схема системы представлена на рис. 69. Нелинейное звено с релейной характеристикой в структуре учитывает регулятор, интегрирующее звено – исполнительный механизм, а инерционное звено – объект управления.

Особенности фазовых портретов нелинейных систем

Рассматривая особенности устойчивости нелинейных систем, мы убедились в возможности существования в одной и той же системе разных по характеру процессов, что ведет к усложнению фазовых портретов нелинейных систем  по сравнению с рассмотренными выше. Так, в нелинейной системе могут существовать устойчивые автоколебания, нелинейная система может быть устойчивой «в малом» и неустойчивой в «большом» и нелинейная система может иметь разные типы устойчивости, в зависимости от начальных возмущений. Рассмотрим особенности фазовых портретов для перечисленных случаев.

Типовые фазовые траектории

Для оценки качества нелинейной системы по фазовым траекториям необходимо установить связь между видом процесса в системе и фазовой траекторией. Эта связь устанавливается путем рассмотрения обыкновенной линейной системы второго порядка, для которой можно решить дифференциальное уравнение для процесса в системе и найти выражение для фазовой траектории. Фазовые траектории, полученные для рассматриваемого случая, получили название типовых фазовых траекторий.

Теорема Ляпунова

Вид фазовых траекторий системы определяется динамическими свойствами системы. Следовательно, по фазовому портрету системы можно судить о динамических свойствах системы. При проектировании системы, прежде всего, необходимо обеспечить ее устойчивость. Для обеспечения устойчивости системы на ее фазовый портрет накладываются определенные ограничения. Связь между видом фазовых траекторий и устойчивостью системы определяется теоремой Ляпунова, которую мы рассмотрим без доказательства.

Свойства фазовых траекторий

Фазовая траектория отражает связь между фазовыми координатами системы. Эта связь порождается динамическими свойствами системы. В силу названных обстоятельств фазовые траектории обладают определенными свойствами.

Основы метода фазовых траекторий

Исследование нелинейных систем автоматического управления связано с необходимостью составления и решения нелинейных дифференциальных уравнений. Поскольку единого общего решения для нелинейных дифференциальных уравнений разного вида не существует, то не представляется возможным создание обобщенного метода теории управления для исследования нелинейных систем, подобно случаю обыкновенных линейных систем.

Особенности устойчивости нелинейных систем

Возникает много спорных ситуаций, вопросов, которые не удалось решить путем устных договоренностей. Что делать в такой ситуации? Нужно обратиться в суд и выбрать хорошую компанию, которая вам поможет  в правильном составлении иска в суд. Они грамотно опишут суть дела. Что касается особенностей устойчивости нелинейных систем. Наличие нелинейных связей между сигналами в нелинейной системе влияет на свойства таких систем и приводит к усложнению процессов в системах. В нелинейных системах наблюдается зависимость характера переходного процесса от величины приложенного возмущения.

Типовые нелинейности

В принципе нелинейности, которые приходится учитывать при анализе нелинейной системы, могут быть любыми. Однако практика исследования систем автоматического управления, применяемых в технике, показывает, что чаще всего приходится сталкиваться с типовыми случаями ограниченного перечня. Нелинейности, влияние которых приходится учитывать чаще всего, получили название типовых нелинейностей.

Структура нелинейной системы

Нелинейная система является математической моделью для учета нелинейных преобразований сигналов в системе автоматического управления. Нелинейные преобразования сигналов всегда присутствуют в любой реальной системе автоматического управления. Однако заметное влияние на свойства системы оказывают только некоторые из этих нелинейностей.